Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} e^{- 3 x} cos (2 x) & e^{- 3 x} sin (2 x) - 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x) & - 3 e^{- 3 x} sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} e^{- 3 x} \cos (2 x) & e^{- 3 x} \sin (2 x) \\ - 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) & - 3 e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) \end{array}]$

Étape 1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

e^{- 3 x} cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$e^{- 3 x} \cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

e^{- 3 x} cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} sin (2 x)) + e^{- 3 x} cos (2 x) (2 e^{- 3 x} cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$e^{- 3 x} \cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} \sin (2 x)) + e^{- 3 x} \cos (2 x) (2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} sin (2 x) + e^{- 3 x} cos (2 x) (2 e^{- 3 x} cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \sin (2 x) + e^{- 3 x} \cos (2 x) (2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez

e^{- 3 x}

$e^{- 3 x}$ par

e^{- 3 x}

$e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1.1

Déplacez

e^{- 3 x}

$e^{- 3 x}$ .

- 3 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) cos (2 x) sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

- 3 e^{- 3 x - 3 x} cos (2 x) sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.1.3

Soustrayez

3 x

$3 x$ de

- 3 x

$- 3 x$ .

- 3 e^{- 6 x} cos (2 x) sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

- 3 e^{- 6 x} cos (2 x) sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} cos (2 x) e^{- 3 x} cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} sin (2 x)) (e^{- 3 x} sin (2 x))

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.2

Multipliez

$e^{- 3 x}$ par

$e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.2.1

Déplacez

$e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.2.3

Soustrayez

$3 x$ de

$- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.3

Multipliez

$2 e^{- 6 x} \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Élevez

$\cos (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.3.2

Élevez

$\cos (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} {\cos (2 x)}^{1 + 1} - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.4.3.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (- (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 2 e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.6

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 (e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 2 e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.7

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 (e^{- 3 x} \cos (2 x)) + 2 (e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.8

Supprimez les parenthèses.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 e^{- 3 x} \cos (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x)) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.10

Multipliez

$e^{- 3 x}$ par

$e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.10.1

Déplacez

$e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.10.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.10.3

Soustrayez

$3 x$ de

$- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Étape 2.1.11

Multipliez

$e^{- 3 x}$ par

$e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.11.1

Déplacez

$e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.1.11.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x - 3 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.1.11.3

Soustrayez

$3 x$ de

$- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.1.12

Multipliez

$2 e^{- 6 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Étape 2.1.12.1

Élevez

$\sin (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x))$

Étape 2.1.12.2

Élevez

$\sin (2 x)$ à la puissance

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x))$

Étape 2.1.12.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Étape 2.1.12.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$ .

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Étape 2.2.1

Additionnez

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x)$ et

$3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 0 + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.2.2

Additionnez

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x)$ et

$0$ .

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.3

Factorisez

$2 e^{- 6 x}$ à partir de

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.4

Factorisez

$2 e^{- 6 x}$ à partir de

$2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x))$

Étape 2.5

Factorisez

$2 e^{- 6 x}$ à partir de

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x))$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))$

Étape 2.6

Réorganisez les termes.

$2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 e^{- 6 x} \cdot 1$

Étape 2.8

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$2 e^{- 6 x}$